Решение 1:Пример.Приведём пример раскраски, в которой $5100$ чёрных клеток. Разобьём квадрат на $50$ «слоёв» толщиной в 1 клетку и покрасим их в чёрный и белый цвет так, что внешний слой покрашен в чёрный цвет, а соседние слои покрашены в разный цвет. На рисунке приведён пример такой раскраски для квадрата $8 \times 8$. Легко видеть, что эта раскраска удовлетворяет условиям задачи.Посчитаем количество чёрных клеток. Внешний чёрный слой состоит из $99\cdot 4$ клеток, следующий чёрный слой – из $95\cdot 4$ клеток, следующий – из $91\cdot 4$ клеток, $\ldots$, последний – из $3 \cdot 4$ клеток. Просуммировав арифметическую прогрессию, получаем $5100$ чёрных клеток. Оценка.Докажем, что в любой раскраске не более $5100$ чёрных клеток. Рассмотрим произвольную раскраску, удовлетворяющую условию. Пусть в ней $b$ чёрных и $w$ белых клеток. Так как все клетки квадрата покрашены, то $b + w = 10000$. Назовёмребромобщую сторону двух соседних по стороне клеток. В квадрате $100 \times 100$ есть $99 \cdot 100$ вертикальных рёбер и $99 \cdot 100$ горизонтальных, всего – $19800$ рёбер. Будем называть реброчёрным, если оно разделяет чёрные клетки,белым, если оно разделяет белые клетки, иразноцветным, если оно разделяет чёрную и белую клетки. По условию на границе каждой чёрной клетки лежат ровно два чёрных ребра. Но и каждое чёрное ребро лежит на границе двух чёрных клеток, поэтому чёрных рёбер ровно $b$. Аналогично белых рёбер ровно $w$. Поэтому разноцветных рёбер $$19800 - b - w = 19800 - 10000 = 9800.$$ На границе каждой белой клетки лежит не более двух разноцветных рёбер, а каждое разноцветное ребро лежит на границе ровно одной белой клетки. Из этого следует, что $2w \geqslant 9800$, то есть $w \geqslant 4900$. Поскольку $b + w = 10000$, то $b \leqslant 5100$, что и требовалось доказать.

Решение 2:Приведём другой способ сделать оценку. Отметим центры клеток и соединим отрезком центры соседних по стороне клеток разного цвета. Тогда угловые клетки не будут соединены ни с одной другой клеткой, клетки у границы будут соединены ровно с одной клеткой, клетки не у границы будут соединены ровно с двумя клетками. Следовательно, все клетки, кроме угловых, разобьются на цепочки, концы которых лежат на границе, и циклы. На рисунке приведён пример разбиения.В каждом цикле и в каждой цепочке цвета клеток чередуются, поэтому в цикле количество чёрных и белых клеток совпадает, а в цепочке – совпадает или отличается на 1. Всего цепочек $392/2 = 196$, поэтому максимальная разность между количеством чёрных и белых клеток равна $196 + 4 = 200$. Следовательно, чёрных клеток не больше $5100$.

$5100$ клеток.