Решение 1:Сделаем гомотетию с центром $P$ и коэффициентом $2$. Пусть $K''$, $M''$, $N''$ – образы точек $K'$, $M'$, $N'$, $T$ – точка пересечения прямой $SK$ с плоскостью $ABC$. Тогда $TK = TP$ как касательные к сфере, и, поскольку треугольники $PKT$ и $K''KS$ подобны, то $SK'' = SK$. Аналогично $SM'' = SM$, $SN'' = SN$. Но $SK = SM = SN$ как касательные, следовательно, $S$ – центр окружности $K''M''N''$ , а середина $SP$ – центр окружности $K'M'N'$.

Решение 2:Обозначим сферу, проходящую через точки $K$, $M$, $N$, с центром в точке $S$, через $\omega$, вписанную сферу пирамиды – через $\gamma$, а плоскость, проходящую через середины рёбер пирамиды – через $\alpha$. Сделаем инверсию с центром в точке $P$, переводящую $\gamma$ в $\alpha$. Тогда точки $K$, $M$, $N$ перейдут в точки $K'$, $M'$, $N'$. Так как $\omega \perp \gamma$, то образ $\omega$ будет перпендикулярен $\alpha$. Следовательно, образом будет сфера, построенная на окружности $(K'M'N')$ как на диаметральной окружности. Тогда утверждение задачи следует из того, что центр инверсии, центр сферы и центр её образа лежат на одной прямой.

Ответ задачи отсутствует