Решение 1:Перенесём чертёж на клетчатую бумагу. Начнём с квадратаBEGF: пусть это клетчатый квадрат 2×2. По отрезкуBCпостроим квадратABCD. Теперь видно, что отрезкиDGиDBравны как гипотенузы прямоугольных треугольников с катетами длиной 1 клетка и 3 клетки.

Решение 2:Заметим, чтоBD=ACкак диагонали квадрата. Если мы докажем, что треугольникиCEAиGCD(на рисунке отмечены серым) равны, то из равенства соответственных сторонACиDGбудет следоватьDG=AC=BD. Как доказать равенство этих треугольников?

Рассмотрим треугольники ABE и CBF. У каждого из них две стороны равны сторонам исходных квадратов. Равны и углы между этими сторонами: каждый из них дополняет угол EBC до прямого угла квадрата. Значит, эти треугольники равны.

Но треугольник BCF равнобедренный (так как он «расположен в квадрате симметрично»; более формально: CB и CF — гипотенузы прямоугольных треугольников CBE и CFG, равных по двум катетам). Значит, CF=CB=AB=AE.

Теперь мы знаем, что в серых треугольниках равны стороны AE и DC, а стороны CE и CG равны по условию. Осталось доказать, что равны углы между сторонами.

Если угол при основании равнобедренных треугольников ABE и CBF равен α, то ∠AEC=90°+α. Но и ∠DCG=360°-∠BCD-∠BCG=360°-90°-(180°-α)=90°+α (∠CBF=α и ∠BCG дают в сумме 180° как односторонние при параллельных сторонах квадрата и секущей BC).

Равенство серых треугольников (а вместе с ним и утверждение задачи) доказано.

Решение 3:Рассмотрим треугольникиDEGиDEB. У них общая сторонаDE, равные стороныEGиEB(как две стороны квадрата). Осталось доказать, что углыDEGиDEBравны, — тогда указанные треугольники будут равны (по двум сторонам и углу между ними), а значит, будут равны и соответственные стороныDGиDB. Равенство этих углов можно доказать так. Отметим H — середину отрезка EB. Заметим, что HB = EC как половины стороны правого квадрата, а также BC = DC, ∠HBC = 90° - ∠ECB = ∠ECD. Значит, треугольники HBC и ECD равны по двум сторонам и углу между ними. Так как треугольник EHC равнобедренный прямоугольный, ∠EHC = 45°, а ∠DEG = ∠CHB = 180° - ∠EHC = 135°. Но тогда и ∠DEB = 360° - ∠DEG - ∠GEB = 360° - 135° - 90° = 135°.

Ответ задачи отсутствует