Задача
Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами чётное число вершин, и в синий – в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?
Решение
Пусть в вершинах по кругу расставлены числа $x_{1}, ..., x_{100}$, $k = x_{1}x_{2} + x_{1}x_{4} + ... + x_{99}x_{100}$ – сумма красных чисел, $s = x_{1}x_{3} + x_{1}x_{5} + ... + x_{98}x_{100}$ – сумма синих. Заметим, что 0 ≤ $(x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} + ... + x_{99} - x_{100})^2 = 1 - 2k +2s$. Значит, $k-s \leqslant \frac{1}{2}$.
Равенство достигается, когда выражение в скобках равно нулю, например, при $x_{1} = x_{2} = ... = x_{100} = \frac{1}{10}$.
Ответ
½.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь