Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, а окружность с центром O касается катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках K, L и M соответственно.

  Способ 1. Обозначим  ∠A = 2α  и  ∠B = 2β.  Прямая LH и биссектриса угла A параллельны как перпендикуляры к MK (рис. слева). Значит, угол между прямыми LH и AC равен α, а  ∠HLC = 90° – α.  Аналогично  ∠HKC = 90° – β.  Из четырёхугольника HLCK находим  ∠KHL = 90° + α + β = 135°.  Так как  CK = CL  и  ∠KHL + ½ ∠KCL = 180°,  то точка H лежит на окружности с центром C и радиусом CK. Поэтому треугольник KCH равнобедренный и  ∠KCH = 2β.  Следовательно, прямые CH и AB пересекаются под углом 90°, что и требовалось.

 Способ 2. ПустьMS– диаметр вписанной окружности (рис. справа). ТогдаSKиLHпараллельны как перпендикуляры кMK. Аналогично параллельныSLиKH, то естьSKHL– параллелограмм. ПосколькуCKOL– квадрат, то отрезкиCHиOSсимметричны относительно середины отрезкаKL. Значит, CH || MS⊥AB.

Ответ задачи отсутствует