Задача
Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно p + q?
Решение
Решение 1:Можно считать, что вершина первой параболы – точка (0, 0). Пусть вершина второй – (a, b). Тогда уравнения парабол: y = px² и y = q(x – a)² + b, причём b = pa² и 0 = qa² + b. Отсюда (p + q)a² = 0. Если a = 0, то и b = 0, а вершины различны. Поэтому p + q = 0.
Решение 2:Пусть A и B – вершины парабол. Рассмотрим третью параболу, симметричную первой относительно середины отрезка AB. Она имеет вершину B и содержит точку A. Поскольку парабола однозначно определяется своей вершиной и ещё одной точкой, третья парабола совпадает со второй. Значит, старшие коэффициенты исходных парабол отличаются только знаком.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь