Из равенств  99 + 101 = 2·100,  50·99 + 100 = 50·101  и  51·99 = 100 + 49·101  следует, что из любого решения  (x, y, z)  в целых числах можно получить еще шесть решений:  (x + 1, y – 2, z + 1),  (x – 1, y + 2, z – 1),  (x + 50, y + 1, z – 50),  (x – 50, y – 1, z + 50),  (x – 51, y + 1, z + 49)  и  (x + 51, y – 1, z – 49).  Назовём их близкими к  (x, y, z).

  Пусть  (x₀, y₀, z₀)  – единственное решение в натуральных числах. Значит, каждое из шести близких решений содержит 0 или отрицательное число. Из этого следует, что  y₀ ≤ 2,  одно из чисел x₀, z₀ равно 1,  x₀ ≤ 51,  z₀ ≤ 50,  а при  y₀ = 2,  x₀ ≤ 50,  z₀ ≤ 49.  Поэтому наибольшее N не превосходит

max {99 + 100 + 50·101, 99 + 200 + 49·101, 51·99 + 100 + 101, 50·99 + 200 + 101} = 50·99 + 200 + 101 = 5251.

  Покажем, что уравнение  99x + 100y + 101z = 5251  действительно имеет единственное решение. Запишем его в виде  99(x + y + z) + y + 2z = 53·99 + 4.  Рассмотрим два случая.

  1)  x + y + z ≤ 52.  Тогда  y + 2z ≥ 103  ⇒  2(x + y + z) = (y + 2z) + (2x + y) ≥ 106.  Противоречие.

  2)  x + y + z = 53,  y + 2z = 4  ⇒  y = 2,  z = 1  ⇒  x = 50.

N = 5251.