а) Случайную величину "высота получившегося многоугольника" обозначим X. Очевидно,  X = 2k – (I₂ + I₃ + ... + I_k),  где I_j – индикатор события "тримино с номерами j и  j – 1  образовали блок высоты 3". Это может быть только в двух случаях, показанных на рисунке. Вероятность такого равна ⅛. Таким образом,  EI_j = ⅛.  Поэтому  EX = 2k – ⅛ (k – 1) = ^15k+1/₈.

  б) Обозначимu_k,nиd_k,nвероятности того, что фигура изkупавших тримино достигнет высотыn, и при этом верхнее тримино будет расположено выступом вверх (вниз). Сумму этих вероятностей, то есть вероятность того, что высота многоугольника изkтримино равнаn, обозначимp_k,n. Тогда u_k,n= ½p_k–1,n–2, d_k,n= ¼u_k–1,n–1+ ¼u_k–1,n–2+ ½d_k–1,n–2.   Полная вероятность  p_k,n = u_k,n + d_k,n= ½p_k–1,n–2+ ½d_k–1,n–2+ ¼u_k–1,n–2+ ¼u_k–1,n–1=p_k–1,n–2– ¼u_k–1,n–2+ ¼u_k–1,n–1,  откуда p_k,n = p_k–1,n–2+ ⅛p_k–2,n–3– ⅛p_k–2,n–4.   Для начала рекурсии положим  p_0,0=p_1,2= 1,  кроме того  p_k,n= 0  при  n> 2k.  Получаем:  p_2,3=p_1,1+ ⅛p_0,0– ⅛p_0,–1= 0 + ⅛ – 0, p_2,4=p_1,2+ ⅛p_0,1– ⅛p_0,0= 1 + 0 – ⅛ = ⅞  и так далее. Расчёт можно провести, например, с помощью Excel (см. рис.). Для удобства можно ввести n= –1,  положив соответствующие вероятности равными нулю. На рисунке этому соответствует пустой столбец С. Тогда останется заполнить соответствующей формулой только ячейки, начиная с  k= 2, n= 3  (G5 в нашем примере).  На пересечении 7-й строки и 12-го столбца находим  p_7,12≈ 0,133.

а) ^15k+1/₈;   б) ≈ 0,133.