Решение 1:ПустьS– симметрия относительно биссектрисы углаAOD. Она переводит первую из данных окружностей Ω₁в окружность Ω, вписанную в уголCOD. Рассмотрим инверсиюIс центромO, меняющую местами окружности Ω и вторую данную окружность Ω₂. Композиция  H = I_°S  переводит Ω₁в Ω₂. Заметим, что  I_°S = S_°I:  симметрия переставляет проходящие черезOпрямые, но не меняет расстояний, а инверсия одинаково меняет расстояния доO, не переставляя прямых. ПоэтомуHпереводит также Ω₂в Ω₁, следовательно, переводит в себя пересечение окружностей Ω₁и Ω₂– пару точекEиF. На месте остаться обе точки не могли: это означало бы, что обе они находились на указанной биссектрисе и на одном расстоянии отO, то есть совпадали. Значит,Hменяет их местами, тем самым прямыеOEиOFсимметричны относительно указанной биссектрисы.

Решение 2:ПустьO₁,O₂– центры окружностей,r₁,r₂– их радиусы. Проведём биссектрису углаAOD(она же – биссектриса углаO₁OO₂). Пусть она пересекает отрезокO₁O₂в точкеK. ПосколькуKO₁:KO₂=OO₁:OO₂=r₁:r₂=EO₁:EO₂=FO₁:FO₂, то точкиE, F, O, Kпринадлежат одной и той жеокружности АполлонияточекO₁иO₂. ПосколькуO₁O₂– серединный перпендикуляр кEF, то равны хорды этой окружностиEKиFK. Значит, равны и опирающиеся на них вписанные углыEOKиFOK, откуда равенство угловAOEиDOFнемедленно следует.

Ответ задачи отсутствует