Первый способ. Вычитая из первого уравнения второе, получим:  ¹/_x – ¹/_y = y – x  ⇔  (y – x)(¹/_xy – 1) = 0  ⇔  x = y  или  xy = 1.  Рассмотрим два случая.

  1)  x = y.  Исключив из первого и третьего уравнений переменную y, получим  ¹/_x = x + z,  ¹/_z = 2x  ⇔  z = ¹/_2x,  ¹/_2x = x  ⇔  x = z = .

  2)  xy = 1.  Тогда из первого уравнения следует, что  z = 0,  и выражение ¹/_z не имеет смысла. Таким образом, этот случай невозможен.   Второй способ. Заметим, что  ¹/_x + x = ¹/_y + y = ¹/_z + z = x + y + z.  Пусть  x + y + z = A,  тогда x, y и z – корни уравнения  ¹/_t + t = A,  которое равносильно квадратному уравнению  t² – At + 1 = 0.  Так как квадратное уравнение имеет не более двух корней, то значения каких-то двух переменных должны быть одинаковыми. Дальнейшие рассуждения аналогичны рассмотренным в пункте 1) первого способа.

;   .