Случай  k = 1  очевиден. Неравенства  m(m + 1) < m(m + 2) < m(m + 3) < (m + 1)(m + 2)  показывают, что при  k = 2, 3  подобрать m и n не удастся: при  n = m  правая часть меньше, а при  n = m + 1  – уже больше левой.

  Все остальные числа k можно представить в виде  k = 2l + 2  или  k = 2l + 3,  где l – натуральное число. В обоих случаях положим  n = m + l.  Тогда в первом случае  n(n + 1) = n² + n = m² + 2lm + l² + m + l = m(m + k) + l² + l – m  и нужное равенство достигается при  m = l² + l.

  Во втором случае аналогично  n(n + 1) = m(m + k) + l² + l – 2m  и можно взять  m = ½ (l² + l).

Все натуральные числа, кроме 2 и 3.