a) Мысленно расположив монеты в клетках таблицы 2×k, фокусник пишет под каждым столбцом из двух клеток O, если монеты там лежат одной стороной вверх, и P – если разными сторонами. Эта комбинация сообщает ему число n от 1 до k. Если в верхней строке чётное число решек, он называет n, иначе n + k.

  Пусть зритель назвал число m. Чтобы сообщить его, ассистент тоже мысленно пишет строку из O и P по тому же правилу. Он может изменить одну из букв, чтобы получить код, соответствующий числу m (при  m ≤ k)  или  m – k  (при  m > k).  Для этого ему достаточно перевернуть любую из монет в соответствующем столбце. Выбором верхней или нижней монеты он обеспечивает нужную чётность числа решек в верхней строке. б) При  N = 1  способ угадывания, очевидно, существует. Из а) следует, что есть способ и для  N = 2^m.

  Комбинации орлов и решек, которые ассистент в принципе может "выдать" фокуснику, должны быть разбиты на N групп: когда фокусник видит комбинацию из i-й группы, он называет число i.

  У каждой из 2^N возможных комбинации есть ровно N соседей (отличающихся от неё переворачиванием одной монеты). Они должны попасть в разные группы. В частности, у каждой комбинации из первой группы есть ровно один сосед из второй группы (и наоборот). Следовательно, в первой и второй группах (и аналогично во всех остальных) комбинаций поровну. Кроме того, отсюда следует, что все 2^N комбинаций распределены по группам, то есть в каждой группе  ^2N/_N  комбинаций. Поэтому 2^N кратно N, то есть N – степень двойки.

б) N – степень двойки.