Решение 1:   Проведём все большие диагонали A₁A₅₁, A₂A₅₂, ... 101-угольника A₁A₂...A₁₀₁ (мы считаем, что  A₁₀₂ = A₁,  A₁₀₃ = A₂, ...). Получится звезда со 101 ребром. Окрасим диагональ A_kA_k+50 в синий цвет, если дуга A_kA_k+1A_k+50 меньше половины окружности (то есть угол, на неё опирающийся, – острый), и в красный цвет в противном случае. Обойдём звезду по рёбрам. Заметим, что два красных ребра не могут идти подряд, так как сумма ста подряд идущих дуг, соответствующих сторонам 101-угольника, меньше полной окружности. Чередоваться цвета не могут из-за нечётности числа 101. Значит, где-то две синие диагонали идут подряд. Пусть это, например, диагонали A₅₂A₁ и A₁A₅₁. Тогда в треугольнике A₅₂A₁A₅₁ углы A₁A₅₂A₅₁ и A₁A₅₁A₅₂ – острые, следовательно, высота, опущенная из вершины A₁, попадает на противоположную сторону A₅₂A₅₁.

Решение 2:   Сотрём пока пары диаметрально противоположных вершин. Останется  2n + 1  вершина; через каждую из них проведём диаметр. Выберем один из них и подсчитаем количество оставшихся вершин справа от него. Перейдём к следующему по кругу диаметру. Заметим, что количество вершин справа от диаметра при этом изменилось не более чем на единицу. Двигаясь таким образом, мы вернёмся к первому диаметру, только сейчас то, что справа от него, изначально было слева. Если сначала справа было больше n вершин, то стало меньше n, и наоборот. В любом случае, в какой-то момент справа от какого-то диаметра было ровно n вершин, и слева столько же. Восстановив стёртые вершины, мы добавим поровну вершин справа и слева от него. Значит, этот диаметр пересечёт сторону, противоположную вершине, из которой он выпущен. Таким образом, в треугольнике, образованном этой стороной и этой вершиной, углы при стороне будут опираться на дуги, меньшие полуокружности, то есть будут острыми. Поэтому основание высоты треугольника, опущенной из этой вершины, находится внутри стороны.

Ответ задачи отсутствует