Задача
а) Докажите, что расстояния от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равны. б) Докажите, что множество точек, для которых расстояния до некоторой фиксированной точки и до некоторой фиксированной прямой равны, является параболой.
Решение
а) Пустьx2= 2py. Тогда квадрат расстояния от точки (x,y) до точки (0,p/2) равен
x2 + $\displaystyle \left(\vphantom{y-\frac{p}{2}}\right.$y - $\displaystyle {\frac{p}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{y-\frac{p}{2}}\right)^{2}{}$ = 2py + y2 - py + $\displaystyle {\frac{p^2}{4}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right.$y + $\displaystyle {\frac{p}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right)^{2}{}$,
а расстояние от точки (x,y) до прямойy= -p/2 равно$\left\vert\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right.$y+${\frac{p}{2}}$$\left.\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right\vert$.
б) Можно считать, что фиксированная точка имеет координаты (0,p/2), а
фиксированная прямая задаётся уравнениемy= -p/2. Тогда множество точек
(x,y), для которых расстояние до фиксированной точки равно расстоянию до
фиксированной прямой, задаётся уравнением
x2 + $\displaystyle \left(\vphantom{y-\frac{p}{2}}\right.$y - $\displaystyle {\frac{p}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{y-\frac{p}{2}}\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right.$y + $\displaystyle {\frac{p}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{y+\frac{p}{2}}\right)^{2}_{}$,
т.е.x2= 2py.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет