Задача
а) Пусть $\alpha$,$\beta$и $\gamma$ — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше 180o. На сторонах треугольника ABCвнешним образом построены треугольники A1BC,AB1Cи ABC1, имеющие при вершинах A,Bи Cуглы $\alpha$,$\beta$и $\gamma$. Докажите, что прямые AA1,BB1и CC1пересекаются в одной точке. б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABCвнутренним образом.
Решение
Пусть прямые AA1,BB1и CC1пересекают прямые BC,CAи ABв точках A2,B2и C2. а) Если $\angle$B+$\beta$< 180oи $\angle$C+$\gamma$< 180o, то ${\frac{BA_2}{A_2C}}$=${\frac{S_{ABA_1}}{S_{ACA_1}}}$=${\frac{AB\cdot BA_1\sin(B+\beta )}{AC\cdot CA_1\sin(C+\gamma )}}$=${\frac{AB}{AC}}$ . ${\frac{\sin\gamma }{\sin\beta }}$ . ${\frac{\sin(B+\beta )}{\sin(C+\gamma )}}$. Последнее выражение равно $\overline{BA_2}$:$\overline{A_2C}$во всех случаях. Запишем аналогичные выражения для $\overline{CB_2}$:$\overline{B_2A}$и $\overline{AC_2}$:$\overline{C_2B}$и перемножим их. Остается воспользоваться теоремой Чевы. б) Точка A2лежит вне отрезка BC, только если ровно один из углов $\beta$и $\gamma$больше соответствующего ему угла Bили C. Поэтому
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь