Задача
Точки M и N на сторонах BC и AB равностороннего треугольника ABC выбраны так, что площадь треугольника AKC равна площади четырёхугольника BMKN (K — точка пересечения отрезков AM и CN). Найдите угол AKC.
Решение
Поскольку
S$\scriptstyle \Delta$BNC = SBMKN + S$\scriptstyle \Delta$MKC = S$\scriptstyle \Delta$AKC + S$\scriptstyle \Delta$MKC = S$\scriptstyle \Delta$CMA,
иBC=AC, то высоты треугольниковBNCиCMA, опущенные на их
основанияBCиAC, равны. ПоэтомуBN=CM. Следовательно,
треугольникиBNCиCMAравны по двум сторонам и углу между ними.
Поэтому
$\displaystyle \angle$BNK + $\displaystyle \angle$BMK = $\displaystyle \angle$BNK + (180o - $\displaystyle \angle$AMC) =
= $\displaystyle \angle$BNK + (180o - $\displaystyle \angle$BNK) = 180o.
Значит, четырёхугольникBMKN— вписанный. Следовательно,
$\displaystyle \angle$AKC = $\displaystyle \angle$MKN = 180o - $\displaystyle \angle$MBN = 180o - 60o = 120o.
Можно доказать, что треугольник BNC получен из треугольника
CMA поворотом на угол
120o.
Ответ
120o.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет