Рассмотрим случай, когда m$\ne$n. Пусть A и B — данные точки. Пусть точка P такова, что ${\frac{PA}{PB}}$ = ${\frac{m}{n}}$. Если точка P не лежит на прямой AB, то проведём биссектрису PC треугольника APB и биссектрису внешнего угла треугольника APB, смежного с углом APB, до пересечения с прямой AB в точке C₁. Тогда а уголCPC₁— прямой как угол между биссектрисами смежных углов. Следовательно, точкаPлежит на окружности с диаметромCC₁. Пусть теперь M — произвольная точка построенной окружности, отличная от A и B (для которых все и так ясно). Тогда $\angle$CMC₁ = 90^o. Проведём через точку B прямую, параллельную AM. Пусть K и L — точки пересечения проведённой прямой с прямыми MC₁ и MC. Из подобия треугольников BKC₁ и AMC₁ следует, что а из подобия треугольниковBLCиAMC—Из полученных равенств следует, чтоBK=BL. ПоэтомуMB— медиана прямоугольного треугольникаKMLс прямым углом при вершинеM. Следовательно,что и требовалось доказать. Введём систему координат на плоскости так, чтобы точки A и B имели координаты (- a;0) и (a;0) соответственно. Если точка P имеет координаты (x;y), то Уравнение${\frac{AP^{2}}{BP^{2}}}$=${\frac{m^{2}}{n^{2}}}$приводится к видуЭто уравнение окружности с центром$\left(\vphantom{\frac{a(m^{2} + n^{2})}{m^{2} - n^{2}}; 0}\right.$${\frac{a(m^{2} + n^{2})}{m^{2} - n^{2}}}$;0$\left.\vphantom{\frac{a(m^{2} + n^{2})}{m^{2} - n^{2}}; 0}\right)$и радиусом${\frac{2mn}{\vert m^{2} - n^{2}\vert}}$.

Окружность, если m$\ne$n. Если m = n, то искомое геометрическое место точек есть серединный перпендикуляр к отрезку с концами в данных точках.