Задача
Внутри треугольника ABC с острыми углами при вершинах A и C взята точка K, причём ∠AKB = 90°, ∠CKB = 180° – ∠C.
В каком отношении прямая BK делит сторону AC, если высота, опущенная на AC, делит эту сторону в отношении λ, считая от вершины A?
Решение
Продолжим отрезок BK до пересечения со стороной AC в точке M. Тогда ∠MKC = 180° – ∠CKB = ∠C = ∠MCB, поэтому равнобедренные треугольники MKC и MCB подобны.
Пусть BD – высота треугольника ABC, DC = a, AD = λa, DM = x. Тогда CM : KM = BM : CM, или KM·BM = CM² = (a – x)².
Точки D и K лежат на окружности с диаметром AB. Поэтому KM·BM = AM·DM = (λa + x)x.
Из уравнения (a – x)² = (λa + x)x находим, что x = a/λ+2, откуда AM = λa + x = 
, MC = a – x = 
.
Следовательно, AM/MC = λ + 1.
Ответ
AM/MC = λ + 1.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь