Ясно, что правильный 36-угольник переходит в себя при повороте на угол 10⁰вокруг его центра. Следовательно, он переходит в себя и при повороте на угол 70⁰вокруг его центра. Покажем, что многоугольник, о котором идет речь в условии, не может иметь меньше 36 вершин. Рассмотрим одну из его вершин A₀. Пусть мы совершили поворот на угол в 70⁰вокруг точки O. Многоугольник самосовместился, а вершина A₀перешла в некоторую вершину A₁(при повороте вершина переходит в вершину!). Поскольку угол поворота не кратен 360 градусам, A₁будет отлична от A₀. Далее, повернем многоугольник на 270⁰, 370⁰, 470⁰, ... , 3570A₀, он снова будет самосовмещаться. При этом вершина A переходит в вершины A₂, A₃, ... , A₃₅. Никакие две из вершин A₀, A₁, ... , A₃₅не будут совпадать, так как любая пара из этих вершин совмещается поворотом вокруг точки O на угол, не кратный 360₀.

36.00