Обозначим через П число пятиугольников, через Ш - число шестиугольников среди граней данного многогранника. Обозначим также через Г, Р, В соответственно количества граней, ребер и вершин данного многогранника. Тогда Г=П+Ш. Далее, каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а поскольку пятиугольникам принадлежат 5 ребер, а шестиугольникам 6, можно написать: Р=(5П+6Ш)/2. В каждой вершине сходится по 3 грани. Действительно, угол правильного пяти- и шестиугольника не меньшее 108⁰; поэтому если бы в некоторой вершине сходилось не менее четырех граней, то сумма плоских углов многогранного угла, отвечающего этой вершине, была бы не меньше 4*108⁰>360⁰, что невозможно. (Для доказательства этого факта проведем прямую внутри многогранного угла, спроектируем угол на плоскость, перпендикулярную этой прямой; проекции плоских углов будут давать в сумме 360⁰, а при проектировании величина угла не уменьшается.) Отсюда следует, что В=(5П+6Ш)/3. Воспользуемсяформулой Эйлера, связывающей число вершин, граней и ребер выпуклого многогранника: В-Р+Г=2. Подставим значения В, Р, Г, выраженные через П и Ш, получим: (5П+6Ш)/3-(5П+6Ш)/2+(П+Ш)=2. Преобразовывая это выражение, видим, что Ш сокращается, и равенство принимает вид П/6=2, откуда П=12. Хорошо известен пример одного из многогранников, о которых идет речь в условии - "футбольный мяч".

12