Задача
На доске выписаны числа 1, ½, ..., 1/n. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число ab + a + b.
Какое число останется после n – 1 такой операции?
Решение
Пусть в некоторый момент на доске написаны числа a, b, ... , z. Рассмотрим произведение P = (a + 1)(b + 1)...(z + 1). После замены пары чисел a, b на ab + a + b в указанном произведении (a + 1)(b + 1) заменится на ab + a + b + 1 = (a + 1)(b + 1). Таким образом, операция величину P не меняет. Отсюда следует, что число, которое остаётся в конце, не зависит от порядка выполнения операций и равно
(1 + 1)(½ + 1)...(1/n + 1) – 1 = 2/1·3/2·...·n+1/n – 1 = (n + 1) – 1 = n.
Ответ
n.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет