Обозначим точки A₁,A₂,...,A_nсначала в каком-нибудь произвольном порядке. Если замкнутая ломаная A₁A₂...A_nне имеет самопересечений, то условие задачи выполнено. Пусть найдутся два пересекающихся звена, пусть для определенности, это звенья A₁A₂и A_kA_k+1. Заменим эту пару звеньев на звенья A₁A_kи A₂A_k+1. Таким образом, мы получаем новую замкнутую ломаную A₁A_kA_k-1...A₂A_k+1A_k+2...A_n, соединяющую данные n точек уже в другом порядке. Поскольку отрезки A₁A₂и A_kA_k+1пересекаются, точки A₁,A_k,A₂,A_k+1образуют выпуклый четырехугольник. В выпуклом четырехугольнике сумма длин диагоналей больше суммы длин пары противоположных сторон, поэтому A₁A₂+A_kA_k+1> A₁A_k+A₂A_k+1. Это означает, что при описанной выше процедуре замены пары звеньев периметр замкнутой ломаной уменьшается. Выполняем аналогичным образом замены пар звеньев ломаной пока это возможно, при этом периметр ломаной уменьшается. Этот процесс не может продолжаться бесконечно, так как способов упорядочить n точек - конечное число. В конечном итоге мы придем к замкнутой ломаной без самопересечений (иначе можно было бы сделать еще одну замену звеньев и еще раз уменьшить периметр ломаной).

Ответ задачи отсутствует