Задача
Найдите максимальное значение выражения |...||x1 – x2| – x3| – ... – x1990|, где x1, x2, ..., x1990 – различные натуральные числа от 1 до 1990.
Решение
Оценка. Заметим, что модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума. Поэтому |x1 – x2| ≤ max{x1, x2},
||x1 - x2| – x3| ≤ max{x1, x2, x3}, |...||x1 – x2| – x3| – ... – x1990| ≤ max{x1, x2, ..., x1990}. Данное выражение не может равняться 1990, поскольку чётность этого выражения совпадает с чётностью суммы x1+x2 + ... + x1990 = 1 + 2 + ... + 1990, а эта сумма содержит 995 нечётных слагаемых.
Пример. Заметим, что ||||4k + 2| – (4k + 4)| – (4k + 5)| – (4k + 3)| = 0. Поэтому
|...|||2 – 4| – 5| – 3| – ... – (4k + 2)| – (4k + 4)| – (4k + 5)| – (4k + 3)| – ... – 1986| – 1988| – 1989| – 1987| – 1990| – 1| = ||0 – 1990| – 1| = 1989.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь