Будем называть два треугольника параллельными, если какая-то сторона одного из них параллельна какой-то стороне другого. Ясно, что тогда и каждая сторона одного из них параллельна некоторой стороне другого. Поэтому параллельность на множестве равносторонних треугольников на плоскости является отношением эквивалентности.

  Поскольку каждый треугольник может иметь общий участок стороны только с параллельным ему треугольником, то раскраску можно производить для каждого "класса параллельности" независимо. Покажем, как покрасить в два цвета, удовлетворяя условиям задачи, треугольники одного "класса параллельности". Введём для этого на "классе параллельности" понятие ориентации: два треугольника на рис. слева одинаково ориентированны, а два треугольника на рис. справа – противоположно ориентированны.

  Очевидно, что два треугольника могут иметь общий участок сторон, только если они противоположно ориентированы. Поэтому если мы покрасим в один цвет все треугольники одной ориентации, а в другой цвет – все треугольники противоположной ориентации, то получим нужную раскраску в два цвета.

Хватит.