Олимпиадные задачи по математике для 4-10 класса

<i>Первая производная</i> бесконечной последовательности $a_1, a_2$, ... – это последовательность  $a'n = a{n+1} - a_n$  (где  $n$ = 1, 2, ...), а её <i>k-я производная</i> – это первая производная её ($k$–1)-й производной

($k$ = 2, 3, ...).  Назовём последовательность <i>хорошей</i>, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2$, ... и $b_1, b_2$, ... – хорошие последовательности, то и $a_1b_1, a_2b_2$, ... – хорошая последовательность.