Олимпиадные задачи по математике для 3-9 класса
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega_1$ с центром $O$. Окружность $\omega_2$ касается сторон $AB$, $AC$ и касается дуги $BC$ описанной окружности в точке $K$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямая $OI$ содержит симедиану треугольника $AIK$.
Даны прямоугольный треугольник <i>ABC</i> и две взаимно перпендикулярные прямые <i>x</i> и <i>y</i>, проходящие через вершину прямого угла <i>A</i>. Для точки <i>X</i>, движущейся по прямой <i>x</i>, определим <i>y<sub>b</sub></i> как образ прямой <i>y</i> при симметрии относительно <i>XB</i>, а <i>y<sub>c</sub></i> – как образ прямой <i>y</i> при симметрии относительно <i>XC</i>. Пусть <i>y<sub>b</sub></i> и <i>y<sub>с</sub></i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Найдите геометрическое место точек <i>Y</i> (для несовпадающих <i>y<sub>b</sub&g...
Изначально на доске написано натуральное число <i>N</i>. В любой момент Миша может выбрать число <i>a</i> > 1 на доске, стереть его и дописать все натуральные делители <i>a</i>, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано <i>N</i>² чисел. При каких <i>N</i> это могло случиться?