Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 1-4 с решениями
В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся гипотенузы $AB$ в точке $T$. Квадраты $ATMP$ и $BTNQ$ лежат вне треугольника. Докажите, что площади треугольников $ABC$ и $TPQ$ равны.
На вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, касающейся стороны <i>AC</i> в точке <i>S</i>, нашлась такая точка <i>Q</i>, что середины отрезков <i>AQ</i> и <i>QC</i> также лежат на вписанной окружности. Докажите, что <i>QS</i> – биссектриса угла <i>AQC</i>.
Внутри трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что <i>AM = CN</i> и <i>BM = DN</i>, а четырёхугольники <i>AMND</i> и <i>BMNC</i> – вписанные. Докажите, что прямая <i>MN</i> параллельна основаниям трапеции.