Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2 с решениями
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, не имеющий корней, таков, что коэффициент <i>b</i> рационален, а среди чисел <i>c</i> и <i>f</i>(<i>c</i>) ровно одно иррационально.
Может ли дискриминант трёхчлена <i>f</i>(<i>x</i>) быть рациональным?
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i><sup>2</sup> + <i>bx + c</i> принимает в точках <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> и <i>c</i> значения разных знаков.
Докажите, что корни трёхчлена <i>f</i>(<i>x</i>) имеют разные знаки.
Найдите все <i>n</i>, при которых для любых двух многочленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> найдутся такие одночлены <i>ax<sup>k</sup></i> и <i>bx<sup>l</sup></i>
(0 ≤ <i>k ≤ n</i>, 0 ≤ <i>l ≤ n</i>), что графики многочленов <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>ax<sup>k</sup></i> и <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>bx<sup>l</sup></i> не будут иметь общих точек.