Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 2-4 с решениями
Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, <i>b</i><sub>3</sub>, что <i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub> ≠ 0. Оказалось, что <i>P</i>(<i>a</i><sub>1</sub><i>x + b</i><sub>1</sub>) + <i>P</i>(<i>a</i><sub>2</sub><i>x + b</i><sub>2</sub>) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3<...
Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть <i>l</i> – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка <i>I</i>, параллельного <i>l</i>, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число <i>C</i> (зависящее только от прямой <i>l</i>) такое, что все полученные разности не превосходят <i>C</i>.
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i><sub>2<i>n</i></sub><i>x</i><sup>2<i>n</i></sup> + <i>a</i><sub>2<i>n</i>–1</sub><i>x</i><sup>2<i>n</i>–1</sup> + ... + <i>a</i><sub>1</sub><i>x + a</i><sub>0</sub>, у которого каждый коэффициент <i>a<sub>i</sub></i> принадлежит отрезку [100, 101].
При каком минимальном натуральном <i>n</i> у такого многочлена может найтись действительный корень?