Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

В треугольнике $ABC$ через центр $I$ вписанной окружности $w$ провели прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с вписанной окружностью в точках $A_B$ и $A_C$ ($A_B$ находится в той же полуплоскости относительно прямой $AI$, что и точка $B$). После этого нашли точку пересечения прямых $BA_B$ и $CA_C$ и обозначили её через $A_1$. Аналогично построили точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали перпендикулярны. На сторонах <i>AD</i> и <i>CD</i> отмечены соответственно точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что углы <i>ABN</i> и <i>CBM</i> прямые. Докажите, что прямые <i>AC</i> и <i>MN</i> параллельны.

В описанном четырёхугольнике <i>ABCD</i>  <i>AB = CD ≠ BC</i>.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке <i>L</i>. Докажите, что угол <i>ALB</i> острый.