Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 4 с решениями

  Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через <i>P</i>(<i>n</i>) число разбиений <i>n</i> в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например,  <i>P</i>(4) = 5,  потому что  4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1  – пять способов).

  а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его <i>разбросом</i> (например, разбиение  4 = 1 + 1 + 2  имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма <i>Q</i>(<i>n</i>) разбросов всех разбиений числа <i>n</i> равна   1 + <i>P</i>(1) + <i>P</i>(2) + ... + <i>P</i>(<i>n</i>–1)....