Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 4 с решениями

Оля и Максим оплатили путешествие по архипелагу из 2009 островов, где некоторые острова связаны двусторонними маршрутами катера. Они путешествуют, играя. Сначала Оля выбирает остров, на который они прилетают. Затем они путешествуют вместе на катерах, по очереди выбирая остров, на котором еще не были (первый раз выбирает Максим). Кто не сможет выбрать остров, проиграл. Докажите, что Оля может выиграть.

30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно, что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для того, чтобы все побывали в гостях у всех,

  а) четырёх вечеров недостаточно,

  б) пяти вечеров также недостаточно,

  в) а десяти вечеров достаточно,

  г) и даже семи вечеров тоже достаточно.

На бесконечной во все стороны шахматной доске выделено некоторое множество клеток <i>A</i>. На всех клетках доски, кроме множества <i>A</i>, стоят короли. Все короли могут по команде одновременно сделать ход, заключающийся в том, что король либо остаётся на месте, либо занимает соседнее поле, то есть делает "ход короля". При этом он может занять и то поле, с которого сходит другой король, но в результате хода двум королям оказаться в одной клетке запрещается. Существует ли такое <i>k</i> и такой способ движения королей, что после <i>k</i> ходов вся доска будет заполнена королями? Рассмотрите варианты:

  а) <i>A</i> есть множество всех клеток, у которых обе координаты кратны 100 (предполагается, что одна горизонтальная...

Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.