Олимпиадные задачи по математике для 1-7 класса

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

В клетках прямоугольной таблицы 8×5 расставлены натуральные числа. За один ход разрешается одновременно удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца. Доказать, что за несколько ходов можно добиться того, чтобы все числа таблицы стали равными нулю.

Для каких <i>n</i> существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из <i>n</i> звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?

В таблице размерами <i>m×n</i> расставлены числа – в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчеркнуто <i>k</i> наибольших чисел  (<i>k ≤ m</i>),  в каждой строке – <i>l</i> наибольших чисел  (<i>l ≤ n</i>).  Докажите, что по крайней мере <i>kl</i> чисел подчёркнуты дважды.