Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс» для 2-9 класса - сложность 1-5 с решениями

В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно 4 фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?

Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовём две его вершины <i>не дружными</i>, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.

Любое число $x$, написанное на доске, разрешается заменить либо на  3$x$ + 1,  либо на  [^<i>x</i>/₂].

Докажите, что если вначале написано число 1, то такими операциями можно получить любое натуральное число.

Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором  <i>AE || CD</i>  и  $AB = BC$.  Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что  <i>BK || AE</i>.

Фокусник выкладывает в ряд колоду из 52 карт и объявляет, что 51 из них будут выкинуты со стола, а останется тройка треф. Зритель на каждом шаге говорит, какую по счёту с края карту надо выкинуть, а фокусник выбирает, с левого или с правого края считать, и выкидывает соответствующую карту. При каких начальных положениях тройки треф можно гарантировать успех фокуса?