Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» для 10-11 класса - сложность 1-4 с решениями

Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает <i>вдоль окружности</i> через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A</i>₉...