Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс» для 7-9 класса - сложность 3 с решениями

Космический аппарат сел на неподвижный астероид, про который известно только, что он представляет собой шар или куб. Аппарат проехал по поверхности астероида в точку, симметричную начальной относительно центра астероида. Всё это время он непрерывно передавал свои пространственные координаты на космическую станцию, и там точно определили трёхмерную траекторию аппарата. Может ли этого оказаться недостаточно, чтобы отличить, по кубу или по шару ездил аппарат?

Наименьшее общее кратное натуральных чисел <i>a, b</i> будем обозначать [<i>a, b</i>]. Пусть натуральное число <i>n</i> таково, что  [<i>n, n</i> + 1] > [<i>n, n</i> + 2] > ... > [<i>n, n</i> + 35].

Докажите, что  [<i>n, n</i> + 35] > [<i>n, n</i> + 36].

На шахматной доске стоят восемь не бьющих друг друга ладей. Докажите, что можно каждую из них передвинуть ходом коня так, что они по-прежнему не будут бить друг друга. (Все восемь ладей передвигаются "одновременно", то есть если, например, две ладьи бьют друг друга ходом коня, то их можно поменять местами.)