Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс» для 2-11 класса - сложность 1-4 с решениями

Клетки доски 10·10 раскрашены в красный, синий и белый цвета. Каждые две клетки с общей стороной раскрашены в разные цвета. Известно, что красных клеток 20.   а) Докажите, что всегда можно вырезать 30 прямоугольников, каждый из которых состоит из двух клеток – белой и синей.   б) Приведите пример раскраски, когда можно вырезать 40 таких прямоугольников.   в) Приведите пример раскраски, когда нельзя вырезать больше 30 таких прямоугольников.

Найдите все натуральные <i>n</i>, при которых  (<i>n</i> + 1)!  делится на сумму  1! + ... + <i>n</i>!.

Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках – <i>a</i>, на десяти других – <i>b</i>, и на десяти оставшихся – <i>c</i> (числа <i>a, b, c</i> все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что одно из чисел <i>a, b, c</i> равно нулю.

На плоскости нарисовали 10 равных отрезков и отметили все их точки пересечения. Оказалось, что каждая точка пересечения делит любой проходящий через неё отрезок в отношении  3 : 4.  Каково наибольшее возможное число отмеченных точек?

В выпуклом шестиугольнике <i>ABCDEF</i> противоположные стороны попарно параллельны  (<i>AB || DE,  BC || EF,  CD || FA</i>),  а также  <i>AB = DE</i>.

Докажите, что  <i>BC = EF</i>  и  <i>CD = FA</i>.