Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс» для 9-10 класса - сложность 1-4 с решениями

Дана таблица (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64603/problem_64603_img_2.gif"></div>Можно в ней переставлять строки, а также столбцы (в любом порядке). Сколько различных таблиц можно получить таким образом из данной таблицы?

Даны выпуклый многоугольник и квадрат. Известно, что как ни расположи две копии многоугольника внутри квадрата, найдётся точка, принадлежащая обеим копиям. Докажите, что как ни расположи три копии многоугольника внутри квадрата, найдётся точка, принадлежащая всем трём копиям.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> прямой, <i>M</i> – середина <i>BC, AH</i> – высота. Прямая, проходящая через точку <i>M</i> перпендикулярно <i>AC</i>, вторично пересекает описанную окружность треугольника <i>AMC</i> в точке <i>P</i>. Докажите, что отрезок <i>BP</i> делит отрезок <i>AH</i> пополам.

Может ли наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., <i>n</i> быть в 2008 раз больше, чем наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., <i>m</i>?

Есть тридцать карточек, на каждой написано по числу: на десяти карточках – <i>a</i>, на десяти других – <i>b</i>, и на десяти оставшихся – <i>c</i> (числа <i>a, b, c</i> все разные). Известно, что к любым пяти карточкам можно подобрать еще пять так, что сумма чисел на этих десяти карточках будет равна нулю. Докажите, что одно из чисел <i>a, b, c</i> равно нулю.