Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» для 5-9 класса - сложность 2-4 с решениями

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> нет параллельных сторон. Углы, образованные сторонами четырёхугольника с диагональю <i>AC</i>, равны (в каком-то порядке) 16°, 19°, 55° и 55°. Каким может быть острый угол между диагоналями <i>AC</i> и <i>BD</i>?

Существуют ли такие натуральные числа <i>a, b, c, d</i>, что  ^<i>a</i>/_<i>b</i> + ^<i>c</i>/_<i>d</i> = 1,  ^<i>a</i>/_<i>d</i> + ^<i>c</i>/_<i>b</i> = 2008?

По кругу стоят 99 детей, изначально у каждого есть мячик. Ежеминутно каждый ребёнок с мячиком кидает свой мячик одному из двух соседей; при этом, если два мячика попадают к одному ребёнку, то один из этих мячиков теряется безвозвратно. Через какое наименьшее время у детей может остаться только один мячик?

Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.

Дана клетчатая полоска (шириной в одну клетку), бесконечная в обе стороны. Две клетки полоски являются <i>ловушками</i>, между ними – <i>N</i> клеток, на одной из которых сидит кузнечик. На каждом ходу мы называем натуральное число, после чего кузнечик прыгает на это число клеток влево или вправо (по своему выбору). При каких <i>N</i> можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек, где бы он ни был изначально между ловушками и как бы ни выбирал направления прыжков? (Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)

На сторонах <i>АВ</i> и <i>ВС</i> треугольника <i>АВС</i> выбраны точки <i>К</i> и <i>М</i> соответственно так, что  <i>КМ || АС</i>.  Отрезки <i>АМ</i> и <i>КС</i> пересекаются в точке <i>О</i>. Известно, что  <i>АК = АО</i>  и  <i>КМ = МС</i>.  Докажите, что  <i>АМ = КВ</i>.

Число <i>N</i> является произведением двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что

  а) можно приписать к этому числу справа две цифры так, чтобы получился точный квадрат;

  б) если  <i>N</i> > 12,  это можно сделать единственным способом.