Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 10-11 класс» для 3-11 класса - сложность 2 с решениями

Двое играют в следующую игру. Есть кучка камней. Первый каждым своим ходом берет 1 или 10 камней. Второй каждым своим ходом берёт <i>m</i> или <i>n</i> камней. Ходят по очереди, начинает первый. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Известно, что при любом начальном количестве камней первый всегда может играть так, чтобы выиграть (при любой игре второго). Какими могут быть <i>m</i> и <i>n</i>?

Функции  <i>f</i> и <i>g</i> определены на всей числовой прямой и взаимно обратны. Известно, что  <i>f</i> представляется в виде суммы линейной и периодической функций:  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>kx + h</i>(<i>x</i>),  где <i>k</i> – число, <i>h</i> – периодическая функция. Доказать, что <i>g</i> также представляется в таком виде.