Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс» для 2-7 класса - сложность 1-4 с решениями

Первоначально на каждом поле доски 1×<i>n</i> стоит шашка. Первым ходом разрешается переставить любую шашку на соседнюю клетку (одну из двух, если шашка не с краю), так что образуется столбик из двух шашек. Далее очередным ходом каждый столбик можно передвинуть в любую сторону на столько клеток, сколько в нём шашек (в пределах доски); если столбик попал на непустую клетку, он ставится на стоящий там столбик и объединяется с ним. Докажите, что за  <i>n</i> – 1  ход можно собрать все шашки на одной клетке.

Последовательность {<i>x_n</i>} определяется условиями:   <i>x</i>_<i>n</i>+2 = <i>x_n</i> – ¹/_{<i>x</i>_<i>n</i>+1}   при  <i>n</i> ≥ 1.

Докажите, что среди членов последовательности найдётся ноль. Найдите номер этого члена.