Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)» для 7-11 класса - сложность 4 с решениями
XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)
НазадВ тетраэдр <i>ABCD</i> вписана сфера с центром <i>O</i>, касающаяся его граней <i>BCD, ACD, ABD</i> и <i>ABC</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> и <i>D</i><sub>1</sub> соответственно.
а) Пусть <i>P<sub>a</sub></i> – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых <i>OB, OC</i> и <i>OD</i>, лежат в плоскости <i>BCD</i>. Точки <i>P<sub>b</sub>, P<sub>c</sub></i> и <i>P<sub>d</sub></i> определяются аналогично. Докажите, что прямые <i>A</i><sub>1</sub>&...
В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> и отмечены точки <i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>, в которых вневписанные окружности касаются сторон <i>BC, CA, AB</i> соответственно. Прямая <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> касается вписанной окружности треугольника. Докажите, что точка <i>A</i><sub>1</sub> лежит на описанной окружности треугольника <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>...
В треугольнике <i>ABC</i> серединный перпендикуляр к <i>BC</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A<sub>B</sub></i> и <i>A<sub>C</sub></i> соответственно. Обозначим через <i>O<sub>a</sub></i> центр описанной окружности треугольника <i>AA<sub>B</sub>A<sub>C</sub></i>. Аналогично определим <i>O<sub>b</sub></i> и <i>O<sub>c</sub></i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>O<sub>a</sub>O<sub>b</sub>O<sub>c</sub></i> касается описанной окружности исходного треугольника.