Олимпиадные задачи из источника «Задачи для самостоятельного решения» для 7-8 класса - сложность 2 с решениями
Задачи для самостоятельного решения
НазадВ треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub>. Докажите, что если ∠<i>A</i> = 45°, то <i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> – диаметр окружности девяти точек треугольника <i>ABC</i>.
Треугольник, составленный: а) из медиан; б) из высот треугольника <i>ABC</i>, подобен треугольнику <i>ABC</i>.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника <i>ABC</i>?
В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>AD</i>. Пусть <i>O, O</i><sub>1</sub> и <i>O</i><sub>2</sub> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABC, ABD</i> и <i>ACD</i>.
Докажите, что <i>OO</i><sub>1</sub> = <i>OO</i><sub>2</sub>.
Вписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i> касается гипотенузы <i>AB</i> в точке <i>P, CH</i> – высота треугольника <i>ABC</i>.
Докажите, что центр вписанной окружности треугольника <i>ACH</i> лежит на перпендикуляре, опущенном из точки <i>P</i> на <i>AC</i>.