Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Теорема Менелая» для 10-11 класса - сложность 1-5 с решениями

Прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁,<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, <i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>AC</i>и <i>A</i>₁<i>C</i>₁лежат на одной прямой (Дезарг).

Окружность <i>S</i> касается окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂.

Докажите, что прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂.