Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Прямоугольные треугольники» для 5-8 класса - сложность 3-4 с решениями

На гипотенузе <i>AB</i>прямоугольного треугольника <i>ABC</i>внешним образом построен квадрат <i>ABPQ</i>. Пусть $\alpha$=$\angle$<i>ACQ</i>,$\beta$=$\angle$<i>QCP</i>и $\gamma$=$\angle$<i>PCB</i>. Докажите, что cos$\beta$= cos$\alpha$cos$\gamma$.

В треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> проведены высота <i>CD</i> и биссектриса <i>CF</i>; <i>DK</i> и <i>DL</i> – биссектрисы треугольников <i>BDC</i> и <i>ADC</i>.

Докажите, что <i>CLFK</i> – квадрат.

Диагонали<i>AC</i>и<i>BD</i>параллелограмма<i>ABCD</i>пересекаются в точке<i>O</i>. Точка<i>M</i>лежит на прямой<i>AB</i>, причём$\angle$<i>AMO</i>=$\angle$<i>MAD</i>. Докажите, что точка<i>M</i>равноудалена от точек<i>C</i>и<i>D</i>.

Сумма углов при основании трапеции равна 90^<tt>o</tt>. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.