Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Вписанная и описанная окружности» для 9-10 класса - сложность 1-5 с решениями

Медианы треугольника<i>ABC</i>разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем <i>AC</i>₁=<i>AB</i>₁,<i>BA</i>₁=<i>BC</i>₁и <i>CA</i>₁=<i>CB</i>₁. Докажите, что <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами.