Олимпиадные задачи из источника «глава 5. Принцип Дирихле» для 4-7 класса - сложность 2 с решениями

В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.

Дано 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.

Докажите, что среди любых 10 целых чисел найдётся несколько, сумма которых делится на 10.

На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причём среди этих 600 сапог 300 левых и 300 правых.

Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.

Докажите, что среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

В таблице 10×10 расставлены целые числа, причём каждые два числа в соседних клетках отличаются не более чем на 5.

Докажите, что среди этих чисел есть два равных.

Цифры 1, 2, ..., 9 разбили на три группы. Докажите, что произведение чисел в одной из групп не меньше 72.

15 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое число орехов.

Докажите, что существует степень тройки, оканчивающаяся на 001.

Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое делится на 1987.

В бригаде 7 человек и их суммарный возраст - 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.

В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

а) Какое наибольшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы в каждом уголке из трёх полей было по крайней мере одно незакрашенное поле? б) Какое наименьшее число полей на доске 8×8 можно закрасить в чёрный цвет так, чтобы в каждом уголке из трёх полей было по крайней мере одно чёрное поле?

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг.

Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.