Олимпиадные задачи по теме «Инварианты и полуинварианты» для 11 класса - сложность 5 с решениями

В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.

На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:<ol> <li> Снять по одному камню с клеток <i> n-</i>1 и <i> n </i> и положить один камень в клетку <i> n+</i>1; </li> <li> Снять два камня с клетки <i> n </i> и положить по одному камню в клетки <i> n+</i>1, <i> n-</i>2.</li></ol>Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации, когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной раскладки камней по клеткам).

На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\frac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?