Олимпиадные задачи по теме «Доказательство от противного» для 6-7 класса - сложность 4 с решениями

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных  <i>m, n</i> > 100  сумма чисел в любом прямоугольнике <i>m</i>×<i>n</i> клеток делилась на  <i>m + n</i>?

Игроки <i>A</i> и <i>B</i> по очереди ходят конем на шахматной доске 1994×1994. Игрок <i>A</i> может делать только горизонтальные ходы, то есть такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку <i>B</i> разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок <i>A</i> ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом каждому игроку запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока <i>A</i> существует выигрышная стратегия.

Каждая клетка шахматной доски закрашена в один из цветов – синий или красный. Докажите, что клетки одного из цветов обладают тем свойством, что их может обойти шахматный ферзь (на клетках этого цвета ферзь может побывать не один раз, на клетки другого цвета он не ставится, но может через них перепрыгивать).

Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число<nobr><i>a</i> > 1,</nobr>а далее под каждым<nobr>числом <i>k</i></nobr>слева пишем число<i>k</i>², а<nobr>справа —</nobr>число<nobr><i>k</i> + 1.</nobr>Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.Например, при <nobr><i>a</i> = 2</nobr> вторая строка состоит из чисел 4 <nobr>и 3,</nobr> <nobr>третья —</nobr> из чисел 16, 5, 9 <nobr>и 4, </nobr> <nobr>четвёртая —</nobr> из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 <nobr>и 5.</nobr>