Олимпиадные задачи по теме «Производная» для 3-9 класса - сложность 2 с решениями

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

На доске написано:  <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Найдите наибольшее и наименьшее значения функций а)<i>f</i>₁(<i>x</i>) =<i>a</i>cos <i>x</i>+<i>b</i>sin <i>x</i>; б)<i>f</i>₂(<i>x</i>) =<i>a</i>cos²<i>x</i>+<i>b</i>cos <i>x</i>sin <i>x</i>+<i>c</i>sin²<i>x</i>.

Докажите, что при  <i>n</i> > 0  многочлен  <i>nx</i>^<i>n</i>+1 – (<i>n</i> + 1)<i>x ⁿ</i>  + 1  делится на  (<i>x</i> – 1)².

При каких <i>A</i> и <i>B</i> многочлен  <i>Ax</i>^<i>n</i>+1 + <i>Bxⁿ</i> + 1  имеет число  <i>x</i> = 1  не менее чем двукратным корнем?